第27讲 典型例题与练习参考解答：变限积分与定积分的近似计算
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第27讲：变限积分与定积分的近似计算
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例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：已知求变限积分函数
在上的表达式.
练习2：计算下列各导数：
(1) ；
(2) ，其中 连续.
练习3：求下列极限：
(1) ；
(2) ；
(3) ，其中 连续，且 , .
练习4：确定常数 的值，使得
求 的表达式.
练习6：设函数 在 上连续，且 ，
证明：在 上的描述的曲线为凹曲线．
练习7：设在 上连续且 ，证明：
在 内为单调递增函数.
练习8：设在 上连续且递减，证明：当时，
(1) 证明存在 ，使得在 上以 为高的矩形面积等于在 上以 为曲边的曲边梯形面积.
(2) 又设 在 内可导,且 ，证明(1)中的 是唯一的.
(2) 设在上可导， ，且 ，其中 为常数. 证明： ，其中 为与 无关的常数.
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：已知求变限积分函数
在上的表达式.
【参考解答】：(1) 求的表达式.
当时，有
当时，有
(2) 求 的表达式.
当 时，有
练习2：计算下列各导数：
(1) ；
(2) ，其中 连续.
【参考解答】：(1) 直接由变限积分求导公式，得
(2) 直接由变限积分求导公式，得
练习3：求下列极限：
(1) ；
(2) ；
(3) ，其中 连续，且 , .
【参考解答】：(1) 由求函数极限的洛必达法则，得
(2) 由等价无穷小和洛必达法则，得
(3) 直接由洛必达法则，得
【注】该题可以直接令 f(x)=x 验证结果的正确性.
练习4：确定常数 的值，使得
【参考解答】：因为 时，，故得. 代入极限式并由洛必达法则，得
故得 ，从而得极限值 .
练习5：设在 上可导, 且 , 其反函数为 ，满足
求 的表达式.
【参考解答】：在已知方程两边对 求导, 得
由题设知 ，整理得
积分得. 代入 ，得 ，故
练习6：设函数 在 上连续，且 ，
证明：在 上的描述的曲线为凹曲线．
【参考解答】：令 ，去掉被积函数绝对值，有
由变限积分求导公式，得
因 在 上连续，且 ，所以 ，即函数 在 上的描述的曲线为凹曲线．
练习7：设在 上连续且 ，证明：
在 内为单调递增函数.
【参考解答】：直接由变限积分求导公式求导得
由于被积函数中 且 ，故由积分的保号性知 ，即在 内为单调递增函数.
练习8：设在 上连续且递减，证明：当时，
【参考证明】：令
则 , .
由于 在 递减，于是有
由此可知 在 内单调递增，在 内单调递减，所以
从而可得
即原不等式成立.
练习9：设在 上连续，在开区间内可导，且 , . 证明：
【参考证明】：令
则 ，且
由于 , ，所以当时，, ，于是可得 . 再令
则 . 并且
于是可得 ，即 在 上单调增加，知 特别有 ，即
练习10：设在 上连续，在开区间内可导，证明：至少存在一点，使得
【参考证明】：依据中值等式命题的一般证明步骤，有
将端点0，1代入，无法确定中括号内值的符号，因此不好直接考虑零值定理验证. 所以考虑构建中括号内的一个原函数，使用罗尔定理来验证. 容易发现积分上限函数的导数正好为被积函数 ，而 ，所以上式的一个原函数为
显然 在 上连续，在 上可导，并且有
所以满足罗尔定理的条件，于是由罗尔定理得
练习11：若函数 在 上连续且单调增加，证明
【参考证明】：令
则
于是
因为函数 在 上单调增，最后的被积函数 中 ，所以 ，所以积分的保序性，可得 ，即函数 单调增加，所以
从而有 ，即原不等式成立.
练习12：设是区间 的任一非负连续函数.
(1) 证明存在 ，使得在 上以 为高的矩形面积等于在 上以 为曲边的曲边梯形面积.
(2) 又设 在 内可导,且 ，证明(1)中的 是唯一的.
【参考证明】：(1) 结论等价于证明存在 ，使得
令，则 在 上连续，在 内可导，且 ，所以由罗尔定理，存在，使得
成立，即(1) 结论成立.
(2) 取 ，则
练习13：(1) 设函数 在闭区间 上可微，且 . 证明：
(2) 设在上可导， ，且 ，其中 为常数. 证明： ，其中 为与 无关的常数.
【参考证明】：(1) 由不等式证明的一般思路，令
则 ，且
故 单调增加，即
故原不等式成立.
(2) 由题设不等式求导展开且由 ，整理得
两端在区间 上积分，得
移项整理得
由对数函数性质，得
于是令 ，并由对数函数的单调性，得
故所证不等式成立.
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