初中奥数精讲——第29讲 用整体思想解题-答案精讲
一、知识点解析
1. 解数学问题时，一般情况下，为了弄清整体，常把它分成若干个简单问题和不同的情形，分类讨论，各个击破。与分解、分类处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握方向，找出解题思路。
2. 运用整体思想常用手段与技巧
（1）整体观察；
（2）整体代入；
（3）整体换元；
（4）整体求和；
（5）整体求积等等。
这部分主要考察学生的对计数方法的了解及掌握，用整体思想解题是很有意思的一类奥数题，很有技巧性。这部分题型多样，种类繁多，要学好基础知识，才能保证在用整体思想解题的学习上超过别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。
二、例题
例1 （全国初中数学联赛试题）
设a、b、c是不全相等的任意数，若
，
则x、y、z中（ ）。
A. 都不小于零 B. 都不大于零
C. 至少有一个小于零 D. 至少有一个大于零
由于a、b、c的任意性，若孤立地考虑x、y、z，则很难把握x、y、z的正负性，考虑整体x+y+z的值。
解答：
例2
2004名乒乓球选手，用淘汰制争夺单打冠军，问应进行多少场比赛？为什么？
若考虑每场比赛的可能情形逐步分解过程较繁，从整体上看淘汰制，每场比赛总要淘汰一名选手，则简洁明快。
解答：
因为每场比赛总要淘汰一名选手，现在2004名选手要决出冠军，需淘汰2003名选手，所以需要2003场比赛。
例3 （天津市竞赛题）
利用初一的知识还不能求出a，即使求出来再带入计算也很繁，寻求待求式分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体带入求值。
解答：
例4
已知4×4的数表（如下），如果把它的任一行（横行）或一列（竖列）中的所有数同时变号，称为一次变换。试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数？
若着眼于局部看每一行或每一列数的正负变化很难把握规律，若从整体出发看所有16个数的乘积与变换后每行或每列四个数的乘积之间的关系就出现规律，即变化过程中存在的不变性质是解决问题的关键。
解答：
因为每行、每列都是4个数，每当一次变换，只改变表中一行（或一列）中4个数的符号，所以每一次变换不改变这一行（或一列）的乘积符号，从而也不改变表中16个数乘积的符号，但表中有9个负数，所以表中16个数的乘积总是负数。由此可见，绝不可能经过有限次变换使全表各数都变为正数。
例5 （北京市“迎春杯”竞赛题）
如图，将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分别填入图中10个圆圈内，使任意连续的五个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M的最小值并完成你的填图。
解答：
例6
41名运动员所穿的运动服号码是1,2,3,4,…,40,41这41个自然数。问：能否使这41名运动员站成一圈，使得任意相邻两个运动员的号码数之和都是质数？为什么？
这个问题抽象为数学问题，就是将1,2,3,…,40,41随意排成一圈，问能否使得任意相邻的两个数之和都是质数。若能办到，请找出一种排法。若不能办到，请说明理由。显然如果一个一个地排，希望凑出排法，实际上是不可取的。这使我们想到应从整体上考虑问题，如果能摆成题设的排法，看所给的41个数整体上应具有什么性质，再分析题设条件是否满足这个性质，如果不满足，当然就排不出了。
解答：
假设这41名运动员排成一圈后，可使任意相邻的运动员号码之和均为质数。因为相邻的两个号码之和最下是1+2=3，不可能出现等于偶质数2，所以这些质数都应是奇数。因此，相邻两个运动员号码必须一奇一偶，于是这一圈排列的运动员号码必须奇、偶相同。所以这一圈排列运动员的号码中奇号的个数与偶号的个数必须相等，也就是运动员总数应该是偶数个，这与人数41矛盾。
所以这41名运动员排成一圈，使得任意相邻两个运动员号码数之和都是质数的要求是不可能达到的。
注：整体思想对证明“不存在”问题有突出的作用。其思路是：如果状态存在，从整体看来，事物应具有某个性质。然而题设条件不具备这种性质，所以要求的状态必不存在。
例7
用24个面积为1的单位正方形拼成如图所示的正六边形，我们把面积为4的正三角形称为“希望形”。
（1）请问图中共可数出多少个不同的“希望形”？
（2）将1-24这24个自然数填入24个单位正三角形（每个里只填一个数）。我们依次对所有“希望形”中的四个单位正三角形中填的数同时加上一个相同的自然数称为一次操作。问能否经过有限次操作后，使图中的24个单位正三角形中的数都变为相同的自然数？如果能，请给出一种填法；如果不能，请简述理由。
解答：
（1）在第28讲《计数问题（二）》中涉及到此“幸福形”的计数，有12个不同的“幸福形”。
（2）不可能，理由如下：
假设经过m次操作后，24个单位正三角形中的数都变成了a，则其总和等于24a。
另一方面，设第i次操作中每个“希望形”的四个单位正三角形的数都增加了自然数ni，，则第i次操作共增加值为12×4ni.
m次操作后共增加值为
12×4(n1+n2+n3+…+nm）.
这24个单位正三角形最初填入的24个数之和为：
1+2+3+…+24=25×12.
所以m次操作后24个单位正三角形中填数总和为
25×12+12×4(n1+n2+n3+…+nm).
于是应有
25×12+12×4(n1+n2+n3+…+nm) = 24×a.
可见24|25×12，
即2|25，得出矛盾。
所以，想经过有限次操作使图中24个单位正三角形的数都变为相同的自然数是不可能的。
例8
甲乙两人从相距20千米的两地同时出发，相向而行，甲的速度为6千米/时，乙的速度为4千米/时，一只小狗与甲同时出发向乙奔去，遇到乙后立即掉头向甲跑去，遇到甲后又立即掉过头来向乙跑去。。。直到甲、乙二人相遇为止。若小狗的速度是13千米/时，在这一奔跑的过程中，小狗的总行程是多少千米？
寻找总的时间不变量，快速解决问题。如果计算来回各趟的跑动时间，则非常麻烦。
解答：
甲乙相遇的时间为：
20÷（6+4）=2（小时），
这段时间即为小狗在甲乙中来回奔跑的时间，所以小狗的总行程是13×2=26千米。