面积计算（三十五）

之前我们讲了用梅涅劳斯定理来解决面积成比例问题，事实上，能够直接用梅涅劳斯定理解决的面积比例问题只占到所有面积的比例问题中的一小部分。在小学奥数的面积问题中，比例问题是一个大类，同时也是属于难点部分。

那么面积比例到底难在哪里？

因为在解决问题的过程中经常需要用到相似三角形的相关结论——虽然我们不需要严格的相似三角形的理论，就好像你并不知道核磁共振的原理是什么，但是你必须会使用这玩意一样，对，操作这玩意儿对我们来说可不像用锤子斧头那么简单。

而你要想很好地解决面积比例问题，必须要弄清楚一个核心问题：这类问题的实质是什么？

我们从最简单的三角形的情形看起。根据三角形的面积公式我们可以知道，两个三角形的面积比就是底的比和高的比的乘积。这就给我们提供了思路：尽量找同底，或者同高，这样就变成了高的比和底的比，能减少工作量。

原理都是简单的，我们还是需要一些工具来加快解题速度，这并不矛盾。我们知道要把肉弄成小块这样才容易熟，可是用刀还是用手撕，这个效率就差的多了。为了能够轻松地达到我们的目的，一些工具是必须可少的。

接下来我们讲一下平行线分线段成比例定理。

这个定理的证明就是用的面积比的应用。模型一：如图所示，若AB∥CD，我们有△AOB相似于△DOC，且AB：CD=AO：OD=BO：OC。

第二个模型是三角形内有平行线（以后简称模型二）。

如图所示，若BC∥DE，我们有△ABC相似于△ADE，且AB：AD=AC：AE=BC：DE。且△ABC和△ADE的面积比等于AB：AD的平方。

那么用这两个模型有什么要注意的地方呢？

对应。

那怎么才能做到对应呢？请注意我书写的次序，这两个三角形的字母排序并不是任意的。以第一个模型为例，△AOB相似于△DOC，△AOB的字母排序你可以随意，但是当你写完之后，第二个三角形的字母顺序就确定了，必须按照对应字母所代表的角相等原则，这就是所谓对应。在第一张图中，∠BAO就和∠CDO对应，那么A点和D点对应，同理，B点和C点对应。

我们按照这个原则来检验一下第二张图。注意到B点和D点对应，C点和E点对应，抓住角相等，对应就非常好找了。

弄明白对应是怎么回事了？

好，我们开始用这两个模型解题了。

如图：正方形ABCD中，一直正方形的面积为112，CF=BC/3，AE=AB/2，求阴影部分的面积？

首先我们可以知道，△DCF的面积占正方形面积的1/6，△CBE的面积占正方形面积的1/4，所以关键就是求△CFG的面积和正方形的面积比。

很自然的想法就是先看看图中有没有模型一或者模型二，一眼望过去，没有。好在正方形中平行关系多的很，我们很自然就考虑要利用起来。

加辅助线的原则当然就是构造出模型。那么是用模型一还是模型二呢？

你看看这俩三角形，哪个像是里面加条辅助线能解决的样子？

哪个都不像。于是考虑构造出模型一是不是会更好一点。

贼老师，万一模型一不对呢？那再看模型二呗。。。总不能上来先找个看不顺眼的试验吧？

我们又有两条路：是延长CE和DA相交呢？还是延长DF和AB相交呢？

不要纠结，有思路就动手，我们首先延长DF，使其与AB相交，有意思的东西就来了。

首先得到的结论就是CD：BH=CF：BF=DF：FH=1:2，这是从△CDF和△BHF的角度看得；从另一个角度看，△CGD和△EGH又是一组模型一，我们得到CD：EH=CG：EG，而如果知道了CG：EG之后，那么△CGF与△CEB的面积之比就得到了。

因为EB：CD=1:2，CD：BH=1:2，所以CD：EH=2:5，即CG：EG=2:5，则CG：CE=2:7。所以△CGF与△CEB的面积之比就等于2/7 ×1/3=2/21。

所以阴影部分面积=[1-（1/6+1/4 -2/21 × 1/4）]×112=68。

很好很好。

当然，如果你还能记得梅涅劳斯定理的话，我们把辅助线加完以后仔细观察一下，就会发现直线GH和△CEB构成了一组符合使用定理条件的组图。我们有CG：GE ×EH：HB ×BF：FC=1，而EH：HB ，BF：FC都是已知的，马上可以求出CG：EG的值，从而题目得解。

那么假设一开始我们是延长CE和DA相交呢？

我们不妨设DA和CG相交于G’，由于E是中点，由模型一我们知道，AG’=BC,G’E=EC，而对于△CGF和△G’DG来说，我们有G’D：CF=G’G：GC，而G’D：CF=2AD：CF=6:1，所以CG：GG’=1:6，即CG：CG’=1:7，所以CG：GE=2:7。剩下的部分和前面的分析一致。

不对啊，贼老师？！

哪儿不对了？

你不是很反对一题多解的么？怎么自己又一题多解？

这样问的朋友一定是没有仔细看我的过往文章。没错，我确实反对学生搞一题多解，因为从考试的角度来说，并不会因为你一个题目两种解法就多给你分数，但是注意：这个只是对学生而言，因为学生完全没有必要搞出那么多解法，纯粹浪费时间。从上题可以看出，无论是朝哪个方向延长，最后都能把题目做出来。就算一个方向上失败了，还可以对另一个方向尝试。但是只要抓到题目的核心是什么，方法是水到渠成的事情，作为学生，只要一招管用就行了。

但是作为教师的角度，需要从不同角度来给学生启发。而且在教研的时候弄杯茶喝喝，音乐听听，玩一下一题多解，给不同程度以及思维模式的学生指出方向，这个是没有问题的。所以并不矛盾。

家长在辅导的时候千万不要舍本逐末，刻意强调一题多解，把一招练好胜过知道十招。