三角求最值问题的常见题型体系分析（一）

赵钊数学研修室2020.08.24

三角是高中数学求解最值类问题的重要法宝，它可以显性出现，直接考察三角函数最值，三角形中最值，也可以隐性出现，在某些目标最值中，借助三角换元的想法实现三角转化。

作为函数工具，其可以通过函数的“单调性、对称性、周期性”等性质的选取，产生函数相关的最值问题，比如型，型，型，型函数，通过变形，转化为在常见函数。利用函数思想解决不了时，往往可以借助导数工具进一步求解。

作为代数运算，其可以通过代数恒等变形，实现结构的统一化。在解决与“角、名、次、系、构”相关的最值问题时，往往需要着眼于式子结构形式的变换。对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。

比如：

“诱导公式”实现不同角向同角的转化；

“同角关系（平方、商数）”实现非齐次向齐次的转化，非同名向同名的转化；

“两角和差公式、二倍角公式、降幂公式”实现异名化同名，异次化齐次，异角化同角；

“半角公式、万能公式”实现对根式、分式的转化；

“和差化积、积化和差”实现对不同角的和差积的化简。

作为几何运算，我们总可以在出现与角度相关的长度、面积、体积运算问题中找到三角的影子。所以三角求最值，经常性地在向量、三角、立体几何、解析几何中出现，并且通过参数的不同选取，减少计算量，实现知识的综合。

类型一：三角函数有界性求最值

一、问题背景：

三角函数的性质中，利用单调性，可以得到函数的最值，从而产生函数的有界性。这是三角函数区别于其他函数的一个重要性质。

在人教版新教材《第五章三角函数》中《正弦函数、余弦函数性质》，就有对最值的初步定义，以及典型例题和解答。而将三角函数作为函数研究最值时，要掌握清楚研究脉络和研究方法。

类型二：三角恒等变换求最值

一、问题背景：

三角函数求最值，在学习了三角恒等变换之后。我们掌握了对于不同三角结构的变形策略。进而可以解决一些之前在第一章解决不了问题。

《三角恒等变换》的《两角和与差的正弦、余弦和正切》已经学习了两角和差公式、倍角公式。我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为提高我们的推理、运算能力提供了新的平台。

在《简单的三角恒等变换》中，通过例题给出降幂公式，半角公式、积化和差、和差化积公式，并且提出了换元和方程思想。

老版本教材中，例3换成新版本教材中的例9.加了实例，并且对分析环节进行了全面阐述

【老版本人教A版课本第140页例3】

老版本教材中，例4原封不动的放到了新教材，形成例10.

【人教A版课本第140页例4】

类型三：复合函数求最值

一、问题背景：

三角函数的学习，扩大了函数研究的领域。在学习完指对函数后，我们让指数函数、对数函数分别于二次函数复合，研究单调性、最值。在三角部分，也有类似的问题出现。教材中虽未设计题目，但是作为函数，三角可以充当复合函数中的外部或内部结构，形成最值。

如果给定目标函数结构比较复杂（不齐次，名不同，角不同），我们总可以借助三角公式将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，利用数形结合、动定分析探求最值。

一般需要考虑：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.