2019巴尔干数学奥林匹克预选题 几何组 -中文翻译

G1. 设O为正方形ABCD的中心, M为B关于A的对称点. E为CM和BD交点, S为MO和AE交点. 证明: SO平分∠ESB.

G2. 如图, ABC中, ∠B＝75°, ∠C＝45°. ∠A的平分线与BC交于点D. 在线段AB上取点E, 使DE＝DC. 若CE与AD交于P, 证明P为AD中点.

G3. 如图, O为ABC外心. 以A为圆心的圆与BC切于点D. 上两点F,G满足FG⊥AO, ∠BFD＝∠CGD. 过F,G分别作的切线, 两者交于点P. 求证: A, B, C, P共圆.

G4. 锐角ABC中, H为垂心, M为BC中点. 以HM为直径作圆 . 过A作 的切线, 切点分别为X, Y. 求证: B, X, Y, C共圆.

G5. 锐角ABC外心为O, 外接圆为. 过C作切线与直线AB交于D. 过BCD, OCD, AOB的圆分别与射线CA相交于Q, P, K(不同于点A), 且P在线段AK上, K在线段PQ上. 直线PD与BKQ外接圆再次相交于点T. 求证: TB＝TQ.

G6. ABC中，线段BC上两点X,Y满足∠CAX＝∠BAY. 过B作BK⊥AX于K, BS⊥AY于S. 过C作CT⊥AX于T, CL⊥AY于L. 证明: 直线KL, TS, BC三线共点.

G7. ABC中，H为垂心, AD, BE, CF分别为三条高. 作E, F关于AD的对称点E’, F’.直线BF’, CE’交于点X, 直线BE’, CF’交于点Y. 证明: 直线AX, YH, BC共点.

G8. 如图, ABC内接于圆O, 垂心为H. 取点A在圆O上的对径点D, 作D,H关于AB的对称点 , 关于AC的对称点 . 直线AH与过 的圆再次相交于U. 直线  与线段  交于K, 直线 交于点L. 过  的圆与过U, A, L的圆有两个交点.证明: 其中一个交点为P满足K,P,L共线.

G9. 如图, 半圆圆心为O, 直径为AB. 过上一点C作的切线交直线AB于E, 作CD⊥AB于D. 以C为圆心, CD为半径作圆交于H, Z. 直线HZ与CO, CD, AB分别交于点S, I, K.过I作AB平行线与CO,CK分别交于L, M. 过D, L, M的圆γ与AB,CK分别交于点P, U. 过L,M,P分别作γ的切线 ,设,, , Q为γ圆心.求证: 直线IQ, TU, SX, RD共点.

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。