第3招:左右开弓-对称性应用
第3招:左右开弓 - 对称性应用
对称性函数在高考题中出现的频率是较高的,函数图象的对称性(广义奇偶性)与函数周期性有密切的关系,因此,在函数图象的对称性之中,往往也隐含着周期性,只要我们能够较熟练地掌握这些函数的特点、类型及解法,注重对称性思想在解题中的应用,便能够事半功倍、出人意料地快速得出正确的解答。
1.利用函数的对称性解题可归纳为下列类型:
(1)利用奇偶函数图象的对称性;
(2)利用对称型函数的对称性;
(3)综合应用对称函数的对称性。
2.几个结论:
(1)若函数
是偶函数,则函数
的图象关于直线
对称,反之亦然。
(2)若函数
是奇函数,则函数
的图象关于点
成中心对称,反之亦然。
(3)对任意的
,若
,则函数图象关于直线
对称。
(4)函数
与
的图象关于直线
对称,函数
与
的图象关于点
成中心对称。
3.对称性与周期性的联系:
(1)若函数
的图象既关于直线
对称,又关于直线
对称(
),则
是周期函数,且
是它的一个周期。
(2)若函数
的图象既关于点
对称,又关于点
对称(
),则
是周期函数,且
是它的一个周期。
(3)若函数
的图象既关于直线
对称,又关于点
对称(
),则
是周期函数,且
是它的一个周期。
1.(2018新课标理)已知
是定义域为
的奇函数,满足
,若
,则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
要求
个函数值的和,逐个去求显然不是好办法,注意到
是奇函数,其图象关于原点成中心对称,又有
,即图象关于直线
对称,故
是周期函数,先求出周期,再去找规律。
因为
是定义域为
的奇函数,
,
(1)
又
,所以
(2)
由(1)、(2)得
(3)
用
代替
得
(4)
由(3)、(4)得
,所以
的周期为
。
由于
,
,故令
,得
,
令
,得
,
令
,得
,
故
,
所以
.
2. (《中学数学研究》2019)已知函数
满足
,若函数
与
图象的交点为
,
,…,
,求
的值。
【答案】见解析
【解析】因为函数
,函数
的图象关于原点
成中心对称,所以函数
的图象关于点
成中心对称。
因为
,所以
,也即点
也在函数
的图象上,因为
的中心为
,所以函数
也关于点
成中心对称,所以点
与点
,点
与点
…分别关于点
成中心对称。因为
,
,
所以
。