2020考试中心样题关键试题点评2

【点评 2】综合地考查了函数各种性质。可以视为在 2017 全国 3 卷 11 题增加了一些元素。《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》给出了如下变式:

【点评】此法要注意对复杂导函数零点的处理,观察是重要方法,指数式指数为 0,对数式真数为 1,再结合选项观察即可。

【点评】导数为 0 的点只可能为极值点或拐点。

【点评】对于零点和不等式问题有公式解法,复杂函数的零点问题转化为两个简单函数的交点问题。

【数学文化】达芬奇在绘画的时候,思考项链在两个点固定受重力自然垂下形成曲线的形状,是不是抛物线?伽利略没有找到答案,雅各伯努力用物理的方法,尝试了一年,结果弟弟约翰伯努利用微积分一晚上上就搞定了,得到双余弦函数,可以表示为

【点评】注意到 y = -1 的特殊性(准线),把问题转化为抛物线上的点到焦点与到直线距离之和的最小值,即焦点到直线的距离 2。

【点评 1】根据问题情境,找到递推关系式,再转化为常见的模型,求通项公式。

【点评 2】数列的学习,不仅仅限于从递推关系式到通项公式,因为在实际问题情境中,我们很难直接找到通项公式,往往根据数列的离散性,先找到递推关系式,再由递推关系式到通项公式,我们应该让学生也经历前一个过程,甚至让后一个过程更顺利。华师附一中最后一套猜题卷的 16 题就是这个命题思路。

【点评】对参数的准确理解和认知是解决含参问题的关键。《高观点下函数导数压轴题系统性解读》第 5 章借助大量的题目从 3 个大的方面对参数进行了深刻地剖析。

【点评】向量的最值常常转化为函数或动点的轨迹进行处理,向量的三角分解、极化恒等式和几何意义及分析是三大法宝。《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》作了系统性的梳理。

【点评】由对称性猜出定点在 x 轴上,根据特殊情况求出定点,再进行证明。这是处理定点定值问题三部曲。参考《解析几何的系统性突破》。

【点评】借助第二问得到不等式,证明第三问,转化为数列不等式,放缩是基本方法。

------------------------------------