有个笑话说:中国古代的书是竖着写,西方是横着写,我们读书是在不断地点头,肯定前人;西方读书是在不断地摇头,否定前人。肯定、传承前人的精髓, 并发扬光大,质疑、批判,走出自己的路——创新。不仅数学如此,科学、艺术和哲学都是如此。传承、发扬、质疑、批判、创新、完善;传承……这既是知识,也是观念不断形成和发展的过程。
一、毕达哥拉斯的“万物皆数”
(一)传承和发扬
塑造希腊学术界的所有哲学家对于自然界的研究强调要理解和感悟其内在实质。从毕达哥拉斯时代起,几乎所有的学者都说自然界是以数学方式设计安排的,自然界依数学方式涉及安排的信念是在古典时期形成的,并在那时开始探索数学规律的,虽然不能说此后所产生的全部数学都是从贯彻这一信念而引起的,但一旦建立了这种信念,它就被极大多数的大数学家所接受并自觉地贯彻执行。这种信念直到 19 世纪末已知占优势,在那个时代探索自然界的数学涉及方案被人认为就是探索真理。虽有少数希腊学者认识到数学理论只不过是为有系统地了解自然而作出的认为尝试,但对于数学规律质为自然真理这种信念却吸引了一些最深刻最崇高的思想去研究数学。柏拉图式仅次于毕达哥拉斯本人的最杰出的毕达哥拉斯学派,他是传播这种主张最有影响力的一个人,即认为只有通过数学才能领悟物理世界的实质和精神,永恒不变的数学定律才是现实世界的真髓。柏拉图比毕达哥拉斯学派走得更远,他不仅想通过数学来了解自然,而且要用数学来取代自然本身,他相信只要对物理世界作出洞察一切的鸟瞰而抽象出基本真理,然后就可以单凭理性继续对此进行考察。从那以后就不存在自然界而只有数学,它可以取代物理研究,就像在几何学里所做的那样。毕达哥拉斯——柏拉图强调数量关系作为现实精髓的思想逐渐占据了统治地位,哥白尼、开普勒、伽利略、笛卡尔、惠更斯和牛顿实质上在这方面都是毕达哥拉斯主义者,并且在他们的著作中确立了这样的原则:科学工作的最终目标是确立定量的数学上的规律,即任何科学的分支,都应该从公理或原理出发,然后演绎地进行下去,不但如此,还应该从公理退出更多的结果。当然这个思想源于亚里士多德,他所寻找的是在数学模型下的演绎结构。伽利略和笛卡尔一样,相信自然界是用数学设计的,他的 1610 年的叙述是著名的:哲学(自然)是写在那本永远在我们眼前的伟大书本里的——我指的是宇宙——但是,我们如果不先学会书里所用的语言,掌握书里的符号,就不能了解它。这本书是用数学语言写成的,符号是三角形、圆形和几何图形,没有它们的帮助,是连一个字也不会认识的;没有它们,人就在一个黑暗的迷宫里劳动而无功地游荡着。甚至还说:如果把耳朵、舌头和鼻子都去掉,我的意见是:形状、数量(大小)和运动将仍存在,但将失掉嗅觉、味觉和声觉,这些事从活的动物抽象出来的,照我来看,只是一些名词而已。因此伽利略和笛卡尔一样,一下子剥掉了千百种现象和性质而集中到物质和运动这两种可用数学描述的东西。
(二)质疑、批判和创新
可是伽利略根本上不同于古希腊人、不同于中世纪的科学家甚至笛卡尔之处,在于他的寻求基本原理的方法。伽利略以前的人和笛卡尔都相信基本原理出自心中,心只需要对任何一类现象去想,它就能认出基本的真理,心的这种力量在数学中得到证实,像“等量加等量结果还是相等”和“两点确定一条直线”等公理,只要我们想到数和几何图形,就会立刻呈现出来,而且使无可争辩的真理。相信心能够提供基本原理,并不否认观测在获得这些原理的过程中可能起的作用,但是观测只是唤起正确的原理,正如看见一个熟识的面孔,就能想起有关那个人的事情一样。伽利略决定:在物理学中,和在数学中相反,基本原理必须来自经验与实验,寻求正确而基本的原理的道路,是要注意什么是自然界说的,而不必注意什么是心之所愿的。伽利略说:知识来自观测,不来自书本,当我们得到自然界的意志时,权威是没有任何意义的……亚里士多德派和中世纪的科学家都倒向质的方面,他们认为质是基本的,他们研究了质的获得与丧失,辩论了质的意义,伽利略和他们不同,主张寻求量的公理,这个改变最为重要。比如亚里士多德派说,球的降落,是因为它有重量;它落在地上,是因为任何物体都要找到它的自然位置;而重物的自然位置是地球的中心,这些原理都是属于质的。甚至开普勒的第一运动定理——行星的运动轨道是椭圆——也是质的。与之相反,让我们来看一段叙述:球在降落中每秒的速度,是 32 英尺乘以开始降落后所经历的秒数,用符号表示出来便是v = 32 t ,这是一个关于球如何降落的量的叙述。伽利略着意找出这样的叙述作为公理,并期望用数学方法得到一些推论,这些推论仍给出量的知识,另外我们已经看到,数学是他要用的主要工具。亚里士多德派谈到一些关于质的名词,比如流动性、刚性、要素、自然位置、潜势等,伽利略却选择了一组全新的可以测量的概念,使得它们的测度可以和公式联系起来,这组概念包括距离、时间、速度、加速度、力、质量和重量等。这些概念我们太熟悉了,不觉得有什么奇怪,但在伽利略时代,这是彻底的改造。至少作为基本概念来说是如此,这些概念在了解和掌握自然的努力中,已证明是最有帮助的。伽利略追求描写的决定,是历史关于科学方法论的最深刻最有成效的思想。伽利略的卓越之处在于他非常清楚地看出当时科学研究工作中的错误和缺陷,彻底地抛弃了旧的方式,而又非常明白地制定了新的程序,另外,在应用这些程序于运动问题时,他不但表演了这个方法,而且成功地获得了辉煌的成果——换句话说,他证明了他的程序是有效的。他工作的完整、思想和表达的明晰以及论辩的力量,影响了几乎他的同辈和后辈,伽利略是近代科学方法论的奠基人,霍布斯说:“他是第一个给我们打开通向整个物理领域的门的人”牛顿全盘吸收了伽利略的程序,断言需要用实验提供基本定律,他又明白地知道:在得到一些基本原理之后,科学的作用就是从这些基本原理推出新的事实。在《自然哲学的数学原理》序文中这样写道:古代人(正如帕普斯告诉我们的那样)在自然事物的研究中,把力学科学推崇到极端重要的地位,而近代人则排除物体的形式和玄妙的质,努力把自然控制在数学之下。本此理由,我在这本书里,培育数学直至它联系到哲学(科学)为止……我献出这本书作为哲学的数学原理,因为哲学的整个负担似乎在于——从运动现象去考察自然的力,然后从这些力去阐明其他现象……他在《原理》中说,他的目的,是要发现并宣告“一切事物按照测度、数量和重量安排”的准确方式。牛顿有充分理由来强调与物理解释针锋相对的量的数学定律,因为在他的天体力学里,中心的物理概念是引力,而引力的作用是完全不能用物理的术语来解释的,牛顿不给解释,只给出一个明显而有用的数量公式,表明引力是怎样作用的。这就是为什么他在《原理》的开端处说:“因此,我们计划在这里只给出这些力的数学概念,不考虑它们的物理原因和根底。”在书的接近末尾的地方,他又重复他的思想:但是我们的目的,是要从现象中寻出这个力的数量和性质,并且把我们在简单情形下发现的东西作为原理,通过数学方法,我们可以估计这些原理在较为复杂情形下的效果……我们说通过数学方法(牛顿加了着重号),是为了避免关于这个力的本性或质的一切问题,这个质是我们用任何假设都不会确定出来的。放弃物理的机械解释而改用数学的描写,甚至杰出的科学家也感觉到震惊,但是,只有依靠数学的描写(即使完全缺乏物理的了解时也依靠它)才使得牛顿的惊人贡献成为可能,更不用说后来的发展了。由于科学变得沉重地依赖于——几乎附属于——数学,所以扩展数学领域和数学技术的人是科学家;而科学提供的种种问题,给数学家的创造性工作指出了许多重要的方向。
二、几何的发展
(一)无理数出现和对严谨性的追求把古希腊研究逼向了几何
古希腊的毕达哥拉斯学派的信条:宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比——即万物皆数。当希帕苏斯发现正方形的对角线与边之比,即发现了 2,否定了毕达哥拉斯学派的信条,相传被扔进了海里。欧多克斯引入了变量(或简称量)这个概念,它不是数,而是代表诸如线段、角、面积、体积、时间连续变动的东西来处理无理数问题,这就把古希腊数学的重点颠倒了过来。早期毕达哥拉斯学派肯定是重视数,把它当着基本概念的,现在虽把几何搞得能够处理无理数,为不可公度比(不能表达为整数比)提供了逻辑依据,使希腊数学大大推进了几何学,但也因此真弃了真正的代数和无理数,把数同几何截然分开。欧几里德的《几何原本》把一些公认的事实列成定义和公理,通过演绎的方式推出一系列定理,形成了一个严密的逻辑体系,成为公理化方法建立起来的典范,也为科学的构建提供了范例。传承其精髓,发扬光大,形成一座思想的高峰,让质疑有价值、批判切中要害,要走出自己的路是一件极其不容易的事情。
(二)对《几何原本》中第五公设的质疑
证明里面有些遗漏和错误,但真正质疑有价值的是对第五公设(若以直线与两直线相交,且若同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无线延长后必相交于该侧的一点,即现在的过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。)的质疑,欧几里德无疑知道,任何这样的公理都不免或明或暗地要提到无限远空间所必然出现的事情,而关于无限远空间所必然成立的事项的任何说法,它的具体意义是含糊不清的,因为人的经验是有限的,然而他也认识到这样的公理不能省掉,为了避免直接说出两条直线无论怎么延长都不相交,于是就采取了这样一种说法,提出两直线能交于有限远处的条件。更有甚者,他在求助这一公理以前先
证明了所有无需它来证的定理。
非欧几何的历史,开始努力消除对欧几里德平行公理的怀疑,从古希腊时代到 1800 年间有两种研究途径:一种是用更为自明的公理来代替平行公理;另一种是试图从欧几里德的其他九个公理推导出平行公理来,如果证明这一点,平行公理将成为定理,也就无可怀疑了、、、、、、
(三)对方法的质疑——解析几何
笛卡尔断定方法的重要性,并断定数学可以有效地应用到科学上去,他就把方法应用到几何。在这里,他对方法的普遍兴趣和他对代数的专门知识,就组成联合力量。他对于下述事实深感不安:欧几里德的每一个证明,总是要求某种新的、往往是奇巧的想法,他明白地批判希腊人的几何过于抽象,而且过多地依赖于图形,以至“它只能使人在想象力大大疲乏的情况下,去练习理解力。”他对当时通行的代数也加以批评,说它是完全受法则和公式的控制,以至于“成为一种充满混杂与晦暗、故意用来阻碍思想的艺术,而不像一门改进思想的科学。”他因此主张采取代数和几何中一切最好的东西,互相取长补短。事实上,他着手开发的,是把代数用到几何上去,他完全看到代数的力量,看到它在提供广泛的方法论方面,高出希腊人的几何方法。他同时强调代数的一般性,以及它把推理程序机械化和把解题工作量减小的价值,他看到代数具有作为一门普遍科学方法的潜力、、、、、、笛卡尔把代数提高到重要地位,其意义远远超过他对几何作图问题的洞察和分类,这个关键思想使人们能够认识典型的几何问题并且能够把在几何形式上互不相关的问题归在一起,代数给几何带来最自然的分类原则和最自然的方法层次。不仅可解性问题和作图可能性问题,能够从平行于几何的代数来漂亮、迅速、完全地决定,而且离开代数,决定就成为不可能的了。因此,体系和结构就从几何转移到代数。物理问题的探索不可避免地要导致去寻求关于曲线和曲面的更多知识,因为运动物体经过的路径都是曲线,而物体本身则是由曲面界著的三维体。早已热衷于坐标几何的方法和微积分的力量的数学家们曾经用这两个主要工具研究过几何问题,在已经建立起来的坐标几何领域以及把微积分应用到几何问题中去建立的新领域——微分几何方面,在 18 世纪得到了令人难忘的结果。詹姆斯·西尔维斯特说:几何看来有时候要领先于分析,但事实上,几何的先行于分析,只不过像一个仆人走在主人的前面一样,是为主人开路的。
(四)对解析几何和古希腊几何法的质疑——射影几何
在笛卡尔和费马引进解析几何学以后的百余年里,代数的和分析的方法通知了几何学,几乎排除了综合的方法。受德萨格和帕斯卡的影响,拉伊尔用综合法几乎全部证明了阿波罗尼斯的 364 个关于圆锥曲线的定理,他打算以此表明投射法比阿波罗尼斯的方法高明,也比当时解析方法优越。沙勒引用了完全是分析学家的拉格朗日为证,当遇到天体力学中一个很难的问题时, 60岁的拉格朗日说:虽然分析学也许比旧的几何学的方法要优越,但是在有一些问题中,后者却显得更优越,部分是由于其内在的清晰,部分是由于解法的优美平易,甚至还有一些问题,代数的分析有点不够用,似乎只有综合的方法才能制服,拉格朗日举出的例证是旋转椭球体对其表面或内部一点(单位质量)的引力这个很难的问题,这个问题曾被马克劳林用纯粹综合的方法解决过。沙勒还摘引了比利时天文学家兼统计学家凯特尔给他的信,凯特尔说:“我们大多数年轻数学家这么轻视纯粹几何学,是不恰当的,年轻人嫌其方法具有普遍性,他问道,这究竟是几何学的过错还是研究几何学的人的过错呢?” 为了克服缺乏普遍性,沙勒向未来的几何学家提出两条守则。他们应当把特殊的定理推广为最普遍的(同时还是最简单而自然的)结果。其次,他们不应该满足于一个结果的证明,如果他不是一个一般方法或所从属的学说的一部分。什么叫找到一个定理的真正基础呢?他说,总有一个主要的真理的,人们会认出它来,因为别的定理都将通过简单的变换或作为容易的推论而从它得出。作为知识的基础的伟大的真理总具有简单和直观的特色。首先,一个真正的问题是,到底解析几何学是不是几何学?因为方法和结果的实质都是代数,它们的几何意义都是隐蔽的。此外,正像沙勒所指出的,分析学以其形式过程全部略去了几何学所不断采取的小步骤,分析学的快速而且也许是渗透的步伐不显露已经完成了的事情的意义。起点与最终结果之间的联系是不清楚的。沙勒问道:“在一门科学的哲理性的、基础性的研究中,光知道某件事情是对的却不知道它为什么对、不知道它在所属的真理系列中处于什么地位,这难道够吗?”纯粹几何学的学说往往会给出,而在许多问题中会给出一个简单而自然的办法来洞察诸真理的来源,去揭露那链接它们的神秘链索,去使它们独特地、明白地、完全地被认识。彭赛列深信纯粹几何学的独立性和重要性,虽然他承认分析学的威力,但他相信能够赋予综合几何学以同样的威力。他说:解析方法的威力不在于运用代数而在于它的普遍性,这个优越性产生于这样的事实:从一个典型的图形发现的度量性质,对于由这个典型的或基本的图形派生出来的所有图形都仍然适用,顶多改变一下正负号。这种普遍性在综合几何学里能由连续性原理得到保证。彭赛列是充分认识到射影几何学具有独特方法和目标的新数学分支的第一位数学家, 17世纪的射影几何学家讨论特殊问题,而彭赛列却考虑一般问题,探索几何图形在任一投影的所有截影所共有的那些性质,即在投影和截影下保持不变的性质,彭赛列也考虑一个空间图形到另一个空间图形的射影变换。第一个是射影的图形,运用透射图形的方法是,对于一个给定的图形,找一个比较简单的透射的图形,研究后者以找出它在投射与截影下不变的性质,这样来获得原来那些比较复杂的图形的性质。这个方法实质上曾被德萨格和帕斯卡适用过。第二个主导观念是连续性原理,如果一个图形从另一个图形经过连续的变化得出,并且后者与前者一样的一般,那么可以马上断定,第一个图形的任何性质第二个图形也有。彭赛列断定,若一个图形退化了,譬如六边形的一边趋于零而退化为五边形,则原来图形的任何性质都会转化成关于那退化图形的一个适当措辞的命题。再比方说,从椭圆变到抛物线然后变到双曲线,开普勒设想一个焦点固定而让另一个焦点在它们的连线上移动。若让动点移向无限远(同时让偏心率趋于 1),椭圆就变成了抛物线;然后让那个动焦点又出现在定焦点的另一方,这时抛物线就变成双曲线。当两焦点合二为一,椭圆变成圆;当双曲线的两焦点合在一起,双曲线退化成两直线。要使以焦点从一个方向移往无穷远而又从另一个方向重新出现,开普勒就假定直线向两端无线延伸指点在无穷远处合成一点,从而赋予直线以圆的性质。虽然直观上这样看待直线并不满意,但这种思想在逻辑上是合理的。这个原理,在概括的哲学意义下,要追溯到莱布尼茨,他在 1687 年说,当两件事的已知条件的差能变得任意地小时,其结果的差别也能变得小于任意给定的量。第三个主导观念是关于圆锥曲线的极点与极线的概念,彭赛列研究研究圆锥曲线配极的目的之一是要建立对偶原理。射影几何的研究者们曾经注意到,涉及平面图形的定理如果把“点”换成“线”、“线”换成“点”重新叙述一遍,不但话谈得通,而且竟是正确的,彭赛列想配极关系是其原因、、、、、、
(五)近代公理法思想——公理体系的完善
欧几里得从柏拉图学派那里受到严格的逻辑思维训练。他创造性地把前人的几何知识系统地在一个逻辑框架中把全部的几何内容总结起来,这就是公理化思想的开始。欧几里得用哪个一条逻辑链条把全部几何内容串了起来,这条逻辑链条就是今天所说的“公理化体系”。逻辑链条可以表示如下:
欧几里得的《几何原本》是传播这个思想的范本,但是,用现代的观点来看《几何原本》在很多地方是有缺陷的。近代公理法的应该归功于希尔伯特,1899 年出版的《几何学基础》使几何学建立在严格的逻辑系统的基础上,希尔伯特的几何公理体系建立在基本概念和公理的基础上。所谓基本概念包括两部分,一部分是几何学的研究对象,也称为基本元素。例如点、线、面等;另一部分是这些元素之间的关系,称为基本关系。例如结合、顺序、合同等。基本元素和基本关系构成了基本概念,每个概念本来都应给予定义,定义就是指出概念的属性。但是定义一个概念不可避免地会用到已定义过的概念。这样一来,势必有些概念不可能找到已定义过的概念来给它下定义。由此可知,任何一个几何体系,都必须有若干个基本概念,它们是不再加以定义的概念。
我们要求每个命题都要根据方法给予严格的证明,每个证明必须以已证明过的命题为根据,那么势必有若干基本命题,不可能给出逻辑的证明,这些基本命题就叫公理。
概括起来,若干个基本概念(包括基本元素和基本关系)和若干条公理,叫做一个公理体系,构成一种几何的基础。全部元素的集构成这种几何的空间。在这个公理体系的基础上,每个概念必须给出定义,每个命题都必须给出证明,这就是公理法思想。公理体系是不能任意给定的,它必须满足下列三条要求:相容性、独立性和完备性。
(六)变换群与几何学——对立、统一、联系
一种几何学可以用公理化方法来构建,也可以把变换群与几何学联系起来给几何学以新的定义,这种用变换群来研究几何学的观点是由德国数学家克莱因于 1872 年在德国埃尔朗根大学所作题为“近世几何学研究的比较评论”的报告中首先提出来的,历史上称为埃尔朗根纲领。一百多年来数学的发展说明了克莱因用变换群刻画几何学的观点在近代几何领域起了很大作用,它使各种几何学化为统一的形式,因而得到对立事物的某种统一,同时又明确了各种几何所研究的对象;它给出了一般抽象空间所对应几何学的一种方法,建立了多种几何学,如代数几何、保形几何及拓扑学等,克莱因的观点支配了从他以来近半个世纪所有几何学的研究。克莱因用群论的观点给出几何学的定义,不但一般地指出了各种几何学研究的范围,而且还有助于我们弄清楚它们之间的联系,一般地,变换群越大,则它所对应的几何学研究的对象就越少,因为一个变换群所包含的变换越多,则对于所有这些变换图形的不变性质与不变量就越少,而适应的范围却越广。越小的子群它所对应的子几何内容越丰富。
三、代数的发展——演绎、大胆、符号、方法和成果的普遍化
言必称希腊,古希腊在数学上取得了辉煌的成就,但他们不承认无理数,不仅限制的算术和代数,而且使他们转向而且强调几何,因为几何思想可以免于明确的碰到无理数之是否为数这个问题,后代人受了他们的影响,总觉得在处理那些可能取无理数值的量时,只有几何才有可靠的基础。如果希腊人不那么关系逻辑和严密性,他们也许会像古巴比伦人或后继文明中的人那样无意中承认并运用无理数。但这种认识在直观上没有明确基础,而搞一个逻辑结构又非他们能力所及。希腊人坚持要有准确的概念和证明这个美德,从数学的创造发明来说却是个缺点。把结构严密的数学(除数论之外)限于几何一事又产生另一不利之处,随着数学范围的扩大,用几何方法就使证明越来越复杂,特别是在立体几何方面。而且即使在比较简单的证明里也缺乏一般性的方法。印度人不像希腊人那样细致,因为他们看不出无理数概念所牵涉到的逻辑难点。他们对计算的兴趣使他们忽视了哲学上的区别或希腊人认为属于基本的那些原理上的区别。他们随着兴致所至把适用于有理数的运算步骤用到无理数上去,这样做却帮助数学取得进展。此外,他们的整个算术是完全独立于几何的。印度人注重数学的算术和计算方面,并在这方面作出了贡献,但不甚重视演绎结构。他们有许多好方法和计算技巧,但未曾发现他们考虑过任何证明。他们有计算法则,但不管其在逻辑上是否合理。相当肯定的一件事情是,印度人并不把他们自己的贡献放在眼里。他们的一些好想法,如给 1 到 9 的数单独设记号,改用 10 为底的进位制,负数,都是偶然采用的,并不认为是什么有价值的创举,他们对数学上的价值是不敏感的。波斯历史学家阿尔比鲁尼说过:“我只能把他们的数学和天文著作、、、、、、比着宝贝和烂枣、或珍珠和粪土、或宝石和卵石的混合物。在他们眼里,这些东西都是一样的,因为他们没有把自己提高到科学演绎法的高度。”印度人和阿拉伯人体会到算术与代数的基础是不可靠的,不过他们胆子大(更由于实际需要),敢于进一步发展这两门学科,尽管他们肯定没有认识到他们所干工作的有意义,但还是采纳了搞数学创新工作时所能采纳的唯一道路。新思想只有在自由和勇敢的直观启发下才能产生。逻辑说理和补救办法只有在具备了可供逻辑说理的东西之后才能起作用,或者说,当工作做得很超前的时候,当时不具有充分的证据说明其合理性。印度人和阿拉伯人的闯劲把算术和代数又一次提高到几乎和几何并驾齐驱的地位。于此就确立了数学的两种独立的传统和概念:一种是希腊人所树立的那套逻辑演绎知识,其更大的目的是了解自然;而另一种能够是源于经验为求实用的数学,它由埃及人和巴比伦人打下基础,为一些亚历山大的古希腊数学家所重新拣起来而为印度人和阿拉伯人所进一步推广。前者重视几何,后者重视算术与代数。这两种传统和两种目标此后继续起作用。符号体系的引用,这对它本身和分析的发展比 16 世纪技术上的进展远为重要。事实上,采取这一步,才使代数有可能成为一门科学。在 16 世纪以前,自觉运用一套符号以使代数的思路和书写更加紧凑更加有效的人只有丢番图。16 世纪中引进符号体系的压力无疑来自迅速发展的科学对数学家提出的要求,正如计算方法的改进反映了这种技术的日益增多的应用。不过改进是继续进行的。许多改变是偶然作出的,而且很清楚,16 世纪的人们肯定没有体会到符号体系能对代数起多大作用,甚至引进符号体系方面迈出了决定性的前进步伐以后,数学家们也并不立即采纳。+和 - 这两个符号是 15 世纪德国引入的, x代表“乘”是奥特雷德首创的, = 是 1557年剑桥的雷科德引入的, > , <是哈利奥特首创的,括号是 1544 年出现的。方括号和花括号是大约从 1593 年起由韦达引入的,平方根号
是由笛卡尔采用的。代数性质上发什么重大的变革是由韦达在符号体系方面引入的,韦达是一个有意识地、系统地使用字母的人,他不仅用字母表示未知量和未知量的乘幂,而且用来表示一般的系数。莱布尼茨的名字在符号史上是必须提到的,他认识到号的符号有可能大大节省思维劳动,虽然他在代数上采取这重大步骤的时间较晚。他对各种记法进行了长期的研究,试用过一些符号,征求过同时代人的意见,然后选择他认为最好的符号。
用配方法解二次方程是从巴比伦时代就已经知道的,我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题,约公元 50 到公元 100 年编成的《九章算术》,就以算法的形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具体方法,7 世纪隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法,11 世纪北宋数学家贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出的“开方作法本源图”,以“立方释锁法”来解三次或三次以上的高次方程。同时他还提出了一种更简便的“增乘开方法”; 13 世纪南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“正负开方术”,更提供了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法,此法可以求出任意次代数方程的正根、、、、、、可以说直到 1600 年数学的主题还是几何的,加上一些代数和三角的附属物,经过笛卡尔、费马和沃利斯的工作,代数成为不仅仅适合于本身目的的一套有效方法,而且也是解决几何问题的极好途径,分析方法在微积分中表演出来的更大的有效性解决了竞争,于是代数成为数学中占优势的实体了。直到 1550 年,数学的概念还是直接观念化的,或是从经验中抽象出来的。当时负数和无理数已经出现,而且逐渐赢得了承认,再加上,当复数、使用文字系数的广泛的代数以及导数、积分的概念进入数学的时候,问题就变成从人脑子的深处导出的概念占优势了。换句话说,数学家们在贡献出概念,而不愿意从现实世界中抽象出概念。但是这些概念在物理研究中是有用的,因为(除复数还必须检验它们的真正价值以外)它们和物质的现实性存在着某种联系。当然,没有真正辨别出所涉及的因果关系,欧洲人对于这些新型的数和微积分概念是心中不安的。然而当这些概念在应用中被证明越来越有用时,他们起先是不情愿地,后来还是消极地接受了。熟悉不产生轻视,反而产生承认,甚至是理所当然的承认。1700 年以后,越来越多的、更远离自然的、从人脑子中源源不断地涌现出的概念,进入了数学,而且以较少的疑虑被接受了。由于数学概念的起源,使它逐渐从感觉的学科转向思维的学科。微积分结合进数学,产生了另外一个变化,恰恰是在数学概念本身,破坏了古希腊人塑造的完美性,我们已经注意到代数和微积分的兴起引起了数学这部分的逻辑基础问题,而且这个问题并没有解决掉,整个中世纪有些数学家由于演绎意义的证明被抛弃而心烦意乱,但是他们的抗议淹没在代数的扩展着的内容和使用以及微积分之中了;这个世纪的末尾,数学家实质上已经扔掉了对明确定义的概念和演绎证明的要求。严格的公理化结构,给出了从特殊的例子,对事物的直观的洞察以及不严密的几何证据和物理论点进行归纳的方法。因为演绎法证明已经是数学最明显的特征,所以数学家们抛弃他们学科的标志、、、、、、他们关心科学中重大的、在某些情况下是紧迫的问题,而且他们所使用的数学又解决了这些问题,他们不情愿去探求对新创造工作的完全理解,也不愿试着去建立必要的演绎式结构,而宁愿用他们的胜利安慰他们的良心、、、、、、一个新的目标特别地表现了 17 世纪和以后几个世纪数学的特征——方法和成果的普遍化、、、、、、数学的方法和记号对建立普遍性结果来说仍然来局限,然而这一点却成了数学努力的目标、、、、、、大约在 1800 年前后,数学家们开始关系分析的庞大分支在概念和证明中的不严密性。函数概念本身就是不清楚的;使用级数而不考虑它们的收敛和发散已经产生了悖论和不同的争论,关于三角级数来表示函数的论战进一步引起了混乱;当然,导数和积分的基本概念还从来没有恰当地定义过。所有这些困难最终导致人们对分析的逻辑状况的不满,也是后来的数学家要为分析注入严密性、、、、、、------------------------------------
