【数据结构与算法】第2章-算法
总结：
算法的定义： 算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每一条指令表示一个或者多个操作。
算法的特性： 输入、输出、有穷性、确定性、可行性。
算法的设计要求： 正确性、可读性、健壮性、高效率和低存储。
算法的度量方法： 事后统计方法、事前分析估算方法。
《大话数据结构》第2章阅读笔记。
1 算法定义
算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每一条指令表示一个或者多个操作。
2 算法的特性
五大基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。
2.1 输入输出
算法具有零个或者多个输入，至少有一个或者多个输出。
2.1 有穷性
指算法在执行完有限的步骤后，自动结束而不会出现无限循环，并且每个步骤在可接受的步骤内纸箱完成。
2.3 确定性
算法的每一个步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。
2.4 可行性
算法的每一步骤都是可行的，也就是说，每一步都能通过执行有限次数完成。
3 算法设计的要求
3.1 正确性
算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能够正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
3.2 可读性
算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。
3.3 健壮性
当输入数据不合法时，算法也能作出相关处理，而不是产生异常或者莫名奇妙的结果。
3.4 时间效率高和存储量低
设计算法要尽量满足时间效率高和存储量低的需求。
4 算法效率的度量方法
4.1 事后统计方法
4.2 事前分析估算法
在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。
基本操作的数量必须表示成输入规模的函数。
5 函数的逐渐增长
超过整数N,f(N)总是大于g(n)，f(n)的增长渐进快于g(n).
最高次项的常数不重要
最高次项指数越大，变增长地越快。
其他次项和常数常常可以忽略
6 算法时间复杂度
6.1 算法时间复杂度定义
在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级别。
算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量，记作：T(n)=O(f(n))。他表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模的n的摸个函数。
使用大写 O() 来体现算法时间复杂度的记发，称之为大 O 记法。
一般情况下，随着n的增长，T(n)增长最慢的算法是最优算法。
6.2 推导大O阶方法
推导大O阶：
用常数1以取代运行时间中的所有加法常数。
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。
6.3 常数阶
运行次数函数是f(n)=3,根据第一条，时间复杂度直接记为O(1)
6.4 线性阶
关键就是分析循环结构的运行情况。
O(n)
for(int i = 0; i<n; i ){/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */}
6.5 对数阶
int count = 1;while (count < n){count = count * 2;/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */}
设循环次数为想，则 2 x = n 2^x=n 2x=n --> x = l o g 2 n x=log_2n x=log2n，所以 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)
6.6 平方阶
O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
int i ,j;for (i = 0; i < m; i ){for(j = 0; j < n; j ){/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */}}
&O(m x n)&
int i ,j;for (i = 0; i < m; i ){for(j = 0; j < n; j ){/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */}}
7 常见的时间复杂度
| 执行次数函数 | 阶 | 非正式术语 |
|---|---|---|
| 12 12 12 | O ( 1 ) O(1) O(1) | 常数阶 |
| 2 n 3 2n 3 2n 3 | O ( n ) O(n) O(n) | 线性阶 |
| 3 n 2 2 n 1 3n^2 2n 1 3n2 2n 1 | O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) | 平方阶 |
| 5 l o g 2 n 20 5log_2n 20 5log2n 20 | O ( l o g n ) O(log n) O(logn) | 对数阶 |
| 2 n 3 n l o g 2 n 19 2n 3nlog_2n 19 2n 3nlog2n 19 | O ( n l o g n ) O(n log n) O(nlogn) | n l o g n nlogn nlogn阶 |
| 6 n 3 2 n 2 3 n 4 6n^3 2n^2 3n 4 6n3 2n2 3n 4 | O ( n 3 ) O(n^3) O(n3) | 立方阶 |
| 2 n 2^n 2n | O ( 2 n ) O(2^n) O(2n) | 指数阶 |
O ( 1 ) < O ( n ) < O ( n 2 ) < O ( l o g n ) < O ( n l o g n ) < O ( n 3 ) < O ( 2 n ) < O ( n ! ) < O ( n n ) O(1) < O(n) < O(n^2) < O(log n) < O(n log n) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n) O(1)<O(n)<O(n2)<O(logn)<O(nlogn)<O(n3)<O(2n)<O(n!)<O(nn)
8 最坏情况与平均情况
通常提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。
平均情况是期望的运行时间。
9 算法空间复杂度
空间开销换取计算时间
算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作： S ( n ) = O ( f ( n ) ) S(n)=O(f(n)) S(n)=O(f(n))，其中n为问题规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。