三角形外角常见题型+解析(2)
例题一：
如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4=∠A+∠2，∠2=∠D+∠C，进而利用三角形的内角和定理求解
解：如图可知：
∵∠4是三角形的外角，
∴∠4=∠A+∠2，
同理∠2也是三角形的外角，
∴∠2=∠D+∠C，
在△BEG中，∠B+∠E+∠4=180°，
即∠B+∠E+∠A+∠D+∠C=180°
例题二：
如图，BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=36°，求∠BIC的大小；
（2）若∠A=96°，试求∠BIC；
（3）根据前面问题的求解，请归纳∠BIC和∠A的数量关系并进行证明．
分析：
（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，求出∠IBC+∠ICB的值，即可解决问题．
（2）先根据∠A=96°，得出∠1+∠2=84°，再运用（1）中的方法即可解决问题．
（3）证明思路方法即（2）中的方法．
解：（1）如图所示，∵∠ABC=40°，∠ACB=36°，
∴∠DBC=140°，∠ECB=144°，
又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
∴∠3=1/2∠DBC=70°，∠4=1/2∠ECB=72°，
∴△BCI中，∠I=180°-70°-72°=38°
（2）∵∠A=96°，
∴∠1+∠2=84°，
∴∠DBC+∠ECB=276°，
又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
∴∠3+∠4=1/2（∠DBC+∠ECB）=1/2×276°=138°，
∴△BCI中，∠I=180°-138°=42°
（3）∠BIC=90°-∠A．
证明：△ABC中，∠1+∠2=180°-∠A，
∴∠DBC+∠ECB=360°-（180°-∠A）=180°+∠A，
又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
∴∠3+∠4=1/2（∠DBC+∠ECB）
=1/2×（180°+∠A）
=90°+1/2∠A，
∴△BCI中，∠I=180°-（∠3+∠4）
=180°-（90°+1/2∠A）
=90°-1/2∠A
例题三：
已知：在△ABC和△XYZ中，∠A=40°，∠Y+∠Z=95°，将△XYZ如图摆放，使得∠X的两条边分别经过点B和点C．
（1）当将△XYZ如图1摆放时，则∠ABX+∠ACX= 度；
（2）当将△XYZ如图2摆放时，请求出∠ABX+∠ACX的度数，并说明理由；
（3）能否将△XYZ摆放到某个位置时，使得BX、CX同时平分∠ABC和∠ACB？请直接写出你的结论
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】（1）要求∠ABX+∠ACX的度数，只要求出∠ABC+∠CBX+∠ACB+∠BCX，利用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°；根据三角形内角和定理，∠CBX+∠BCX=∠Y+∠Z=95°，∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠CBX+∠ACB+∠BCX=140°+95°=235°；
（2）要求∠ABX+∠ACX的度数，只要求出∠ABC+∠ACB-（∠BCX+∠CBX）的度数．根据三角形内角和定理，∠CBX+∠BCX=∠Y+∠Z=95°；根据三角形内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠ACB-（∠BCX+∠CBX）=140°-95°=45°；
（3）不能．假设能将△XYZ摆放到某个位置时，使得BX、CX同时平分∠ABC和∠ACB．则∠CBX+∠BCX=∠ABX+∠ACX=95°，那么∠ABC+∠ACB=190°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能．
解：（1）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40°
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°
在△BCX中，∠X+∠BCX+∠CBX=180°
∴∠BCX+∠CBX=180°-∠X
在△XYZ中，∠X+∠Y+∠Z=180°
∴∠Y+∠Z=180°-∠X
∴∠CBX+∠BCX=∠Y+∠Z=95°
∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠CBX+∠ACB+∠BCX=140°+95°=235°；
（2）∠ABX+∠ACX=45度．理由如下：
∵∠Y+∠Z=95°
∴∠X=180°-（∠Y+∠Z）=85°
∴∠ABX+∠ACX=180°-∠A-∠XBC-∠XCB
=180°-40°-（180°-85°）
=45°；
（3）不能．假设能将△XYZ摆放到某个位置时，使得BX、CX同时平分∠ABC和∠ACB．则∠CBX+∠BCX=∠ABX+∠ACX=95°，那么∠ABC+∠ACB=190°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能。
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