共振点探查试验中如何判断共振点 / 四六文摘

在振动试验中，一般采用正弦对数扫频方式来寻找试验体的共振点，然后再进行耐久性等试验，从而判断试验体的工艺性能等特性。这种方法现在比较广泛，但是针对扫频曲线如何判断共振点呢？下面就个人经验认识与理解，进行说明。

首先，理解一下共振的定义。共振是指带有能量的系统在外力激励下发生固有振动的一种现象，特别是当外力的激励频率接近固有频率的时候。和共鸣是同样原理的现象，在电气和振动行业中经常使用的一个专业用语。

其次，在判断共振点时，经验上一般采用的方法是，当监测点的响应值（加速度、速度、位移）是控制点控制值（加速度、速度、位移）的6dB(2倍)以上时，监测点响应值对应的频率f即为共振点。如下图，

上述方法对结构简单的试验体（线性系统）比较有效，而对于组装件比较多的试验体（非线性系统），还需要加入相位差来进行判断，即控制点和监测点对应的相位差是否为90°，如下图，

也许有人会问，这个方法真的可靠吗？有没有理论依据？其实是有的，其理论依据就是单自由度系统受简谐激励引起的强迫振动。数学模型如下图，

振动微分方程式（F₀激振力幅值，ω激振频率），

两边同除以m，并令ω_n= ，2ξω_n= c/m，阻尼比ξ= c/c_c，c_c =，得到

这是一个具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。此方程的解x（t）包括两部分，单自由度有阻尼自由振动齐次方程的通解x₁（t）和特解x₂（t），

其解图形

x₁（t）是一种衰减振动，只在振动开始的一段时间内才有意义，是瞬态振动，在一般情况下可以不予考虑。将x₂（t）代入原微分方程，解法一般的振动理论书上都有介绍，最后得到

频率比λ = ω/ω_n ,系统的最大静位移X₀= = F₀/k 。

通过上面强迫振动解可以看出，在简谐激振力作用下，强迫振动也为简谐振动，其频率与激振频率ω相同，但滞后θ，这是由于阻尼存在的关系。振幅X与相位角θ都与系统固有特性及激振力的性质有关，而与初始条件无关。取

β称为放大因子，代表稳态振动振幅X与激振力幅F₀静止作用于弹簧上的静位移X₀之比，不仅随频率比λ而变，还随阻尼比ξ而变。将β与λ、ξ的关系曲线以及θ与λ、ξ的关系曲线分别称之为幅频响应曲线、相频响应曲线。

两图中，注意频率比λ=1那条竖线，可以看出，

1 λ＜＜1，ω＜＜ω_n，弹性控制区，振幅主要由弹簧k控制，振幅X接近等于最大静位移X₀，β接近于1。相位差θ接近等于0度，即位移与激振力接近同相位。

2 λ＞＞1，ω＞＞ω_n，惯性控制区，振幅只要由质量m控制，β接近于0，因为频率变化太快，试验体由于惯性来不及跟随，几乎静止不动，振幅X主要由系统的惯性决定。相位差θ接近等于180度（π），即位移与激振力接近反相位。

3 λ≈1，ω≈ω_n，阻尼控制区，振幅X急剧增加，放大因子β趋向于最大值β_max。严格的说，β_max发生在

处（取β式子分母中根号下式子的最小值，即λ²的一元二次函数微分后等于0，求出λ），通常由于ξ²＜＜1，所以可以说ω=ω_n时系统发生共振。此时振幅达到最大值X_max=X₀/2ξ，且相位差θ=90°（π/2）。可见在共振时，X_max与阻尼比ξ值有关，ξ越小，X_max值越大；在ξ趋近于0时，X_max可达到无穷大。但此时的相位差θ与ξ值无关，不管ξ值为何值，共振时θ总是90°（π/2），这是共振时的一个重要特征。

通过上面的幅频响应与相频响应所引出的共振现象，是传统的共振试验法测定系统固有频率的理论基础。

在幅频响应曲线中可以看出，在共振区附近的一定范围内，阻尼比ξ对振幅有明显的影响，增加阻尼可使振幅明显下降，这个是减振的理论基础。

λ=1时的放大因子最大，即β_max，此时称其为品质因子，用符号Q表示，

在幅频响应曲线上共振点的两侧用水平线截取两个点q₁、q₂，使它们的纵坐标β满足

点q₁和q₂称为半功率点，对应的频率分别为ω₁和ω₂，两频率之差Δω=ω₂-ω₁,称为系统的半功率带宽，

求得，

因为ξ＜＜1，可以忽略ξ²，得到，

近似的认为幅频响应曲线在λ=1两侧时对称的，则由ω₁+ω₂≈2ω_n，最后得到，

从上式中可以看出，阻尼比大的时候，带宽Δω也大，在共振区内振幅较小且变换平缓；阻尼小时，带宽窄，共振区内振幅较大且变化陡峭。所以Q反映了阻尼的强弱和共振峰陡峭程度，故又称为共振的锐度。在振动试验中，用试验的方法得到半功率带宽，再估算出阻尼的大小，即半功率法。

　　现在再回到前文所述共振点的判断方法中使用幅值判断时，为什么要取6dB(2倍)以上这个问题。通过幅频响应曲线，可以看出ξ＞0.25的话，共振峰比较平缓，不是很明显：ξ≤0.25的话，共振峰比较明显且陡峭，便于察觉。将此条件代入Q=β_max=1/2ξ中，得到Q≥2，这就是幅值判断共振点时，取放大倍数2以上的原因，当然这也仅仅是本人的理解，仅供参考。

总结：

以上介绍的是单自由度系统测定固有频率的方法及其理论基础，主要是通过振幅（位移）来进行判断，其实利用速度或加速度来进行判断结果是一样的。振幅（位移）解微分后即得速度解和加速度解，从而得到速度和加速度的放大因子，总结如下。

位移放大因子：