点点滴滴之抛物线性质（一）

抛物线性质（一）

问题再现：2017年高考北京卷（理）18题

已知抛物线C：y²=2px过点P(1，1).过点(0，1/2)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.

（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）求证：A为线段BM的中点.

本题是抛物线C：y²=2px的一个性质：已知点P(2p，2p)，过点(0，p)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点，则A为线段BM的中点.

问题变式一：

已知抛物线C：y²=2x.过点(0，1)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线与直线ON交于点A，其中O为原点，若线段MA的中点为P，证明直线OP的斜率k为定值.

问题变式二：

已知抛物线C：y²=2px过点P(2，2).过点(0，b)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.

（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）若A为线段BM的中点，求b的值.