技巧丨高中数学中的“以退为进”解题思想

华罗庚指出：“善于'退’，足够的'退’，'退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍。”又云：“先足够的退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去。”这就是以退为进的思想。

 一、从抽象退到具体

“抽象”是透过事物现象，深入内部，抽取事物本质的过程的一种认识方法。“具体”是把抽象出的概念、原理同相应的感性材料联系起来，从而更具体的理解概念的一种认识方法，抽象与具体是对立的统一。

高度的抽象是数学的一个基本特点，要解决数学问题或解数学题，有时问题较抽象，不易发现其内在的联系和规律，因而往往要从“抽象”后退到“具体”的几何图形上来考虑，使问题更易理解，更好解决。

例1  已知x，y是实数，求证：

分析：要证的不等式左边有根号，它们的数量关系较抽象，直接证明难以入手。因此不妨退到所表示的几何图形上考察。（如图1）。

图1

由

，当且仅当A点落在线段OB上时取等号。

而

因而

例2  对于

，确定

的所有可能值。

分析：仔细观察上述代数式的结构，容易联想起两点的距离之差。事实上，

这表示x轴上的点P（a，0）到两定点A（

）和B（

）的距离之差（如图2）。

图2

由于线段AB平行于y轴，不论P（a，0）在x轴什么位置，始终可构成△PAB，由“三角形任意两边之差小于第三边”，得

即

的值在（－1，1）内。

二、从一般退到特殊

所谓“一般”是指人们追求普遍性认识的一种方式。而“特殊”是指人们深入个别认识的一种方式。当解决一般问题，直接找出结论规律或方法受阻时，往往考虑由某种特殊的或有限的情形，归纳推导到一般情形，即以一般向“特殊”后退的思想方法去探求规律和寻找解题方法。

例3  已知

，其中

是满足

的常数，试问α，β为何值时，

与θ无关。

分析：根据题设条件可知，对于所有不同的θ，

恒为定值。为了探求α，β的值，所以我们考虑θ的几个特殊值，θ=0，－α，－β，

，使

的表达式变得较为简单。

由

不难求得

，又由

知，

。

从而

。

所以

，经检验，即为所求。

三、从多退到少

对元素较多，呈现的情况较复杂的问题，我们可以先从元素较少的简单情况进行研究，然后以此为起点去解答较多元素的问题，它常能起到“退一步，进两步”的作用。

例4  设

，其中

。求证：

。

分析：由于变元较多，难于下手，先退为二元考虑，即设

，有

。只要证得

就行，这是不难办到的，事实上

，所以

。

所以

所以

所以

这样就开启了原题证明的决窍。（证明过程略）

四、从整体退到局部

有些数学问题，如果从整体上不便解决，可先研究其局部，如果局部问题得以解决，常常能促使问题整体得以解决。

例5  在锐角三角形ABC中，求证：

。

证明：因为

为锐角三角形，

所以A∈（0，

），所以B+C∈（

，π），

，且B，

－C∈（0，

）

又因为

在（0，

）为增函数

所以

，即

。

同理

所以

。

例6  试判断函数

的单调性。

分析：此函数的定义域为R，要直接判断

在R上的单调性有一定的难度，注意到

为奇函数，它在

和

上的单调性相同，这就把判断

在R上的单调性问题转化为判断

在

上的单调性问题。

任取

，且

，则

，从而

。

所以

，即

。

所以

在

上单调递增，由奇函数的性质知

在R上单调递增。

五、从高维、高次退到低维、低次

例7  求证

。

分析：该题的特点是右边是积的形式，左边是和的形式且次数偏高。故对左边进行降次，用何种方法把高次降下来，容易看出采用因式分解为宜。

证明：左边

例8  斜三棱柱的一个侧面的面积等于S，这个侧面与它所对的棱的距离等于a，求证：这个棱柱的体积等于

。

证明：类比联想平面几何中借助于四边形的面积推求三角面积的过程中，曾运用补形法。这里，把斜三棱柱补成平行六面体

，且把它看成以

为底面的四棱柱，它的高恰为a，故有

。