巧作三线合一构造全等三角形

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本文摘自《初中数学典型题思路分析》的计划增补几何模型资料！

一线三垂直模型构造全等三角形

【模型说明】

三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义，可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等。

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或的倍分关系。在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时需要作高或中线，这要视具体情况而定。

【典型例题1】

如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.

【答案解析】

证明：作EF⊥AC于F，

∵EA=EC，

∴AF=FC=AC

∵AC=2AB

∴AF=AB

∵AD平分∠BAC交BC于D

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∴∠BAD=∠CAD

在△BAE和△FAE中，AB=AF，∠BAD=∠CAD，AE=AE

∴△ABE≌△AFE(SAS)

∴∠ABE=∠AFE=90∘

∴EB⊥AB.

【典型例题2】

如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF=2CD.

【答案解析】

证明：延长BA交CD的延长线于点E.

∵BF是∠CBA的角平分线

∴∠CBF=∠DBA

∵BD⊥CE

∴∠BDC=∠EDB

∵∠CBF=∠DBA，BD=BD，∠BDC=∠EDB

∴△BDC≌△BDE

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∴CD=DE

∵∠BAC=90°

∴AC⊥AB，即△BAF是直角三角形

∵∠BAC=90°，∠BDC=90°

∴∠BAC=∠BDC

∵∠DBA+∠BED=∠BDC，∠ECA+∠AEC=∠BAC，∠BAC=∠BDC，∠AEC=∠BED

∴∠DBA=∠ECA

∵∠DBA=∠ECA，AB=AC，∠BAC=∠CAE=90°

∴△CAE≌△BAF

∴BF=CE

∵CD+DE=CE，CD=DE，BF=CE

∴BF=2CD.